When did the Jews become Jewish

The following will show that there exists two distinct opinions in the Rishonim as to when judaism, along with its unique way of determining national identity vis a vis all the other nations (matrilineal vs patrilineal), first came on the scene, along with many differences in how to explain various pesukim which are dependent upon these differing conceptions

Rambans opinion is that the bris mentioned at sinai is the same bris that HaShem had entered into already with Avraham

Shemos 19:5
וטעם ושמרתם את בריתי – הברית אשר כרתי את אבותיכם להיות להם לאלהים ולזרעם אחריהם (בראשית י״ז:ז׳).

(Contrast with Chizkuni ad loc that interprets it as referring to the bris later on at sinai ושמרתם את בריתי – היא ברית הדם אשר כרת את בנ״י כדכתיב בפרשת משפטים.)

This meshes well with another opinion of his that the avos were already classified as Jews—as opposed to bnei noach—from the time Avraham entered into the bris

Vayikra 24:10

ואין דעתי כך, כי מעת שבא אברהם בברית היו ישראל ובגוים לא יתחשבו, וכמו שאמר בעשו (בבלי קידושין י״ח.), ודילמא ישראל משומד שאני.

(Contrast with Chizkuni ad loc that they were bnei noach prior to sinai and underwent a full fledged conversion אלא יש לומר: דאמרינן הולד כשר הני מילי לאחר מתן תורה והוה ליה היחס הולך אחר האם והיא ישראלית אבל הכא המצרי בא עליה קודם מתן תורה שהיא הייתה בת נח ואין הולד כשר והוה ליה היחס אחר האב והוה מצרי לכך הוצרך גרות.)

And that Avraham kept the Torah in all its particulars (albeit not as one commanded nor outside the land)

Bereishis 26:5

והנראה אלי בדעת רבותינו: שלמד אברהם אבינו כל התורה כולה ברוח הקדש, ועסק בה ובטעמי מצותיה וסודותיה, ושימרה אותה כולה כמי שאינו מצווה ועושה, ושמירתו אותה היה בארץ בלבד

(Contrast with Chizkuni ad loc that Avraham was only keeping what he was commanded to עקב אשר שמע אברהם בקלי – זו עקידה וכן הוא אומר שם עקב אשר שמעת בקולי (בראשית כ״ב:י״ח)
וישמר משמרתי – זו מילה שקבלה מיד כדכתיב זאת בריתי אשר תשמרו וגו׳ (בראשית י״ז:י׳)
מצותי – זו מילה לשמנה כדכתיב וימל אברהם את יצחק בנו בן שמונת ימים כאשר צוה אותו אלהים (בראשית כ״א:ד׳)
חקותי – שיצוה כמו כן זרעו אחריו שיהיו נמולים כדכתיב והייתה בריתי בבשרכם לברית עולם (בראשית י״ז:י״ג), ואומר ויעמידה ליעקב לחק וגו׳ (תהלים ק״ה:י׳).
ותורתי – שאמרתי לו לך לך אל הארץ אשר אראך (בראשית י״ב:א׳), וראיה לדבר אשכילך ואורך בדרך זו תלך (תהלים ל״ב:ח׳). וכן יורנו בדרך יבחר (תהלים כ״ה:י״ב) וכן כל תורה לשון הוראה.
ולפי הפשט: מצותי חקותי – הן שבע מצות שנצטוו בני נח)

Which is all to say that Rambans shitah is that there was already a bris in place with Avraham that had turned him into a Jew, and that he voluntarily kept all the mitzvos that would eventually become obligatory for the post sinaitic Jews.

What transpired at sinai did not formally convert the Jews as they were already Jewish by dint of being descended from Avraham. It apparently enlarged the scope of the antecedent bris that was already in place from Avrahams days to include more commandments.

To end, theres another opinion of Rambans where he embraces the midrashic concept of maaseh avos siman labanim

Bereishis 12:6

ולפיכך החזיק הקב״ה את אברהם בארץ ועשה לו דמיונות בכל העתיד להעשות בזרעו, והבן זה.

Now, if at sinai the Bnei yisroel were legally converted into Jews then the principle of ger shenisgayer k’katan shenolad dami would ostensibly preclude a mere biological ancestor from having such an affect on his progeny, it works out better with his opinion that Avraham was legally Jewish already, just that the Torah—in its entirety—wasn’t as of yet obligatory.

It also jives well with Avraham having had his own personal revelation via ruach hakodesh—albeit non binding—of all the mitzvos and subsequently observing them, as similar to his living in the land and thereby activating a siman labanim for acquiring e”y, by practicing the Torah which would become an inheritance to his children, he was likewise engaged in maaseh avos siman labanim and thus ensuring that it would be his children that would receive the Torah in its fullest form.